RSS

การแก้สมการตัวแปรเดียว

28 ก.พ.

 

บทนิยาม สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
 

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0

  เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า “สมการพหุนามกำลัง n
   
ตัวอย่างเช่น
x3 – 2x2 + 3x -4 = 0
  4x2 + 4x +1 = 0
  2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
   
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
          สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
   
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x – c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
  การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
 
นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
   
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  พหุนาม f(x) นี้จะมี x – c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
 
ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
  แสดงว่า x – c หาร f(c) ได้ลงตัว
  นั่นคือ x – c เป็นตัวประกอบของ f(x)
   
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
  เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
  โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,…, a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
  ถ้า x –เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
  ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
  (1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
  (2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
   
  ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
        1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
  f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
 
      2. นำ x – c หรือ x – ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
  จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
        3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
——————————————————————-
ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – 2x2 – x + 2= 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – 2x2 – x + 2
  ∴ f(1) = 1 – 2 -1 + 2 = 0
  ∴ x – 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
 
= x2 – x – 2
            x3 – 2x2 – x + 2 = (x-1)(x2 – x – 2)
                                     = (x-1)(x-2)(x+1)
  x3 – 2x2 – x + 2 = 0
  (x-1)(x-2)(x+1) = 0
                         x = 1, 2, -1
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
——————————————————————-
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – 10x2 + 27x -18
  ∴ f(1) = 1 – 10 + 27 -18 = 0
  ∴ x – 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ x3 – 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 – 9x + 18)
                                      = (x-1)(x-3)(x-6)
  x3 – 10x2 + 27x -18 = 0
  (x – 1) (x – 3) (x – 6) = 0
                         x = 1, 3, 6
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
——————————————————————-
ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 – x2 – 5x -3 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = x3 – x2 – 5x -3
  ∴ f(3) = 33 -32 -5(3) – 3= 0
             = 27 – 9 – 15 – 3
             = 0
  ∴ x – 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ x3 – x2 – 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
                             = (x-3)(x+1)(x+1)
  x3 – x2 – 5x – 3 = 0
  (x-3)(x+1)(x+1) = 0
                          x = 3, -1
  ∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
——————————————————————-
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x3 – 3x2 – 17x +30 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 2x3 – 3x2 – 17x +30
  ∴ f(2) = 2(2)3 -3(2)2 -17(2) +30 = 0
             = 16 – 12 – 34 +30
             = 0
  ∴ x – 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ 2x3 – 3x2 – 17x +30 = (x-2)(2x2 + x – 15)
                                       = (x-2)(2x – 5)(x+3)
  2x3 – 3x2 – 17x + 30 = 0
  (x – 2)(2x – 5)(x + 3) = 0
 
x =2,
, -3
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-3, 2, }
——————————————————————-
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการ 6x3 + 11x2 – 4x – 4 = 0
วิธีทำ ให้ f(x) = 6x3 + 11x2 – 4x – 4
   ∴ f(-2) = 6(-2)3 -11(-2)2 -4(-2) – 4= 0
             = -48 + 44 + 8 – 4
             = 0
  ∴ x + 2 เป็นตัวประกอบของ f(x)
  ∴ 6x3 + 11x2 – 4x – 4 = (x+2)(6x2 – x – 2)
                                      = (x+2)(3x-2)(2x+1)
  6x3 + 11x2 – 4x – 4= 0
  (x +- 2)(3x – 2)(2x + 1) = 0
 
x = -2,
,
 
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-2, , }
————————————————-
 
ใส่ความเห็น

Posted by บน กุมภาพันธ์ 28, 2012 in Uncategorized

 

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: